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'4 •••• > r « : • ' - * • • « * Vorwort. f \^ ^ -^ ^ Wenn das eigentliche Ziel der mathematischen Natur- wissenschaft, wie allgemein anerkannt werden dürfte, darin besteht; möglichst wenige (übrigens nicht weiter erklärbare) Principien zu entdecken, aus denen die allgemeinen Gesetze der enapirisch gegebenen Thatsachen mit mathematischer Noth- wendigkeit emporsteigen , also Principien zu entdecken, welche den empirischen Thatsachen aequivälent sind, — so muss •es als eine Aufgabe von imabweisbarer Wichtigkeit erschei- nen, diejenigen Principien, welche in irgend einem Ge- biet der Naturwissenschaft bereits mit einiger Sicherheit zu Tage getreten sind, in sorgfiiltiger Weise zu durchdenken, und den Inhalt dieser Principien womöglich in solcher Form darzulegen, dass jener Anforderung der Aequivalenz mit den betreffenden empirischen Thatsachen wirklich entsprochen werde. In der vorliegenden Exposition ist Derartiges versucht worden mit Bezug auf die Principien der theoretischen Mecha- nik. Einer sorgfältigen Analyse ist namentlich das Qdlilei'sche Trägheitsprincip unterworfen und gezeigt worden , dass dieses Princip nicht als ein einziges Princip acceptirt werden dürfe, sondern bei genauerer Betrachtung aufgelöst werden müsse in eine grössere Anzahl theils fundamentaler Principien, theils 1* 147045 — 4 — sich anlehnender Definitionen. Zu letztern gehört die Defi- nition von Buhe und Bewegung, und ebenso auch die Defi- nition gleich langer Zeitabschnitte, Eine ähnliche Analyse in Betreff des Newton'schen An- ziehungsprindpes ist in Kürze angedeutet, jedoch nicht näher durchgeführt worden, um der Exposition denjenigen einheit- lichen Charakter bewahren zu können, welcher bei einer öffentlichen Vorlesung geboten war. Leipzig, 2. December 1869. C. Neumann. Hochgeehrte Versammlung! Trotz vielfaltiger Bemühungen sind uns zwei Gegenden unserer Erdoberfläche immer noch unbekannt, die Gegend des Nordpols und die des Südpols. Einige Nordpolfahrer haben berichtet, dass sie zu ihrer Verwunderung hoch oben im Norden ein offenes Meer erblickt hätten, frei vom Eise. Sie haben (wenn ich nicht irre) die Vermuthuüg ausgesprochen, dass dieses offene Meer den Nordpol rings umgebe, dass es sich nur darum handele, bis zu diesem Meere vorzudringen. Habe man dasselbe erst erreicht, so werde dann die weitere Fahrt bis zum Pole ebenso leicht von Statten gehen, wie etwa eine Fahrt im Mittelländischen Meer. Nehmen wir an, ein Nordpolfahrer erzähle uns von jenem räthselhaften 'Meer. Es wäre ihm geglückt in dasselbe ein- zudringen, und es habe sich ihm dort ein merkwürdiges Schauspiel dargeboten. Mitten im Meer habe er zwei schwim- mende Eisberge erblickt , ziemlich weit von einander entfernt, einen grösseren und einen kleineren. Aus dem Innern des grossen Berges sei eine Stimme ertönt, welche in befehlen- dem Ton gerufen habe: „Zehn Fuss näher !'^ und sofort habe der kleine Eisberg dem Befehl Folge geleistet, und sei zehn Fuss näher an den grossen herangerückt. Und wiederum habe der grössere commandirt: „Sechs Fuss näher !^' Sofort habe der andere den Befehl wieder ausgeführt. Und so wäre Befehl auf Befehl erschallt, und der kleine Eisberg in fort- — 6 — währender Bewegung gewesen, eifrig bemüht, jeden Befehl augenblicklich und auf das Genaueste auszuführen. Sicherlich würden wir einen solchen Bericht in das Reich der Fabeln verweisen. Doch spotten wir nicht zu früh! Die Vorstellungen, die uns hier sonderbar erscheinen; es sind dieselben, welche dem vollendetsten Theil der Naturwissen- schaft zu Grunde liegen, es sind dieselben, denen der Be- rühmteste unter den Naturforschern den Ruhm seines Namens verdankt. Denn im Weltraum erschallen fortwährend solche Befehle, ausgehend von den einzelnen Himmelskörpern, von Sonne, Planeten, Monden und Kometen. Jeder einzelne Weltkörper lauscht auf die Befehle, welche die übrigen Körper ihm zu- rufen, fortwährend bemüht, diese Befehle aufs Pünktlichste auszuführen. In geradliniger Bahn würde unsere Erde durch den Weltraum dahinstürzen, wenn sie nicht gelenkt und ge- leitet würde durch den von Augenblick zu Augenblick von der Sonne her ertönenden Commandoruf, dem die Befehle der übrigen Weltkörper, weniger vernehmlich, sich bei- mischen. Allerdings werden diese Befehle ebenso schweigend ge- geben, wie sie schweigend vollzogen werden. Auch hat New- ton dieses wechselseitige Spiel von Befehl und Fölgeleistuug mit einen andern Namen bezeichnet. Er spricht kurzweg von der gegenseitigen Einwirkung, von der gegenseitigen Anziehungskraft, welche zwischen den Weltkörpern stattfindet. Die Sache aber ist dieselbe. Denn diese gegenseitige Ein Wirkung besteht darin, dass der eine Körper Befehle ertheilt, und der andere dieselben befolgt." War es denn aber nöthig, so höchst sonderbare Vor- stellungen sich zu bilden zur Erklärung der Astronomischen Erscheinungen? Nöthig vielleicht nicht! Aber viele Jahr- hunderte haben vor Newton, und zwei Jahrhunderte nach ihm an der Aufgabe gearbeitet. Mancherlei ist erdacht wor- den, um die Bewegung der Himmelskörper zu erklären, bald — 7 — ein unsichtbares System von Stangen und Balken , bald ein bestandiger Wirbel von unsichtbarer Materie, bald ein Chaos sich bunt durchkreuzender Ströme. Und Alles ist unbrauchbar gewesen. Newtons Gedanken allein haben sich bewährt. — Sie haben sich glänzend hew'Ahrt , hingeleitet zur Entdeckung neuer, zum Theil unsichtbarer Himmelskörper. Im Jahre 1840 richteten die Astronomen ihre Aufmerk- samkeit auf die Bewegung des Uranus, und bemerkten, dass dieser Planet nicht allein von der Sonne und den übrigen Planeten seine Befehle erhalte, sondern ausserdem noch andere Befehle von völlig räthselhaftem Ursprung. Sie achteten genau auf die Richtung, aus welcher diese räthselhaften Be- fehle ertönten, in der Vermuthung, dass in dieser Richtung ein noch unbekannt gebliebener Himmelskörper sich befinden möchte. Manche Mühe und Arbeit , ein Zeitraum von 6 Jahren war erforderlich, um jene Richtung mit voller Genauigkeit zu bestimmen. Als aber im sechsten Jahr die Richtung er- mittelt war, und das Fernrohr in diese Richtung versetzt wurde, erblickte man den lange geahnten (mit blossem Auge nicht sichtbaren) neuen Himmelskörper, den Planeten Neptun. Aehnliches und noch Merkwürdigeres ist über einen der Fixsterne, über den glänzenden Sirius zu berichten. Eine eigenthümliche, etwa kreisförmige Bewegung dieses Sternes erweckte schon vor 33 Jahren den Verdacht, dass er den Befehlen eines in der Nähe befindlichen Weltkörpers gehorche. Aber, obwohl man die Richtung, aus welcher diese Befehle zu kommen schienen, genau ermittelt hatte, war es dennoch (selbst bei Anwendung der vorzüglichsten Fernröhre) nicht möglich, in dieser Richtung einen Weltkörper wahrzunehmen. Doch die Ueberzeugung, dass in dieser Richtung ein Weltkörper sich befinde, konnte durch seine Unsichtbarkeit nicht erschüttert werden. Man hielt fest an jener Ueber- zeugung, und nannte jenen Weltkörper kurzweg den unsicht- baren Begleiter des Sirius. Wahrscheinlich in Folge der all- mähligen Vervollkommnung unserer optischen Instrumente, — 8 - ist dieser unsichtbare Begleiter vor einigen Jahren (1862) sichtbar geworden, jeder weitere Zweifel über seine Existenz beseitigt. Seine Entdeckung aber geschah (wie gesagt) zu einer Zeit, wo er noch nicht sichtbar war, geschah durch aufmerksame Untersuchung der eigenthümlichen Bewegung, welche der unter seiner Botmässigkeit stehende Sirius dar- bietet. Newton's Gedanke von einer gegenseitigen Einwirkung, einer gegenseitigen Anziehungskraft der Himmelskörper hat sich mit der Zeit so eingebürgert , dass wir kaum noch etwas Befremdliches darin erblicken. Und doch besteht dieser Ge- danke im Wesentlichen darin, dass die Himmelskörper ein- ander von Augenblick zu Augenblick ihre Befehle zurufen, und dass jeder einzelne Körper die ihm gewordenen Befehle augenblicklich und in pünktlichster Weise ausführt. — Wie tief dieser Gedanke aber einschnitt in die Vorstellungen von Newton's Zeitgenossen, das erkennen wir, wenn wir einen Blick werfen auf die Briefe von Huygens, eines Mannes, der auf der Höhe seiner Zeit stand, selber grossartige Ent-^ deckungen gemacht hat, und die Gedanken und Entdeckungen Anderer wohl zu würdigen im Stande war. „Der Newton'sche Gedanke einer gegenseitigen Anziehung — heisst es in seinen Briefen anLeibniz — scheint mir absurd. Ich wundere mich nur, dass ein Mann wie Newton so viele mühsamen Unter- suchungen und Rechnungen anstellen konnte, welche kein besseres Fundament haben als einen solchen Gedanken."*) Die Ne wton 'sehen Hypothesen standei^ völlig heterogen, standen fast diametral gegenüber denjenigen Vorstellungen, an welche man sich damals gewöhnt hatte. Deswegen wur- den sie von Huygens mit Misstrauen betrachtet, für un- _ wahrscheinlich und absurd erklärt. — Darf man denn aber eine physikalische Hypothese unmittelbar nach ihrem Inhalt beurtheilen, darf man sie, je nach ihrem Inhalt, für wahr- scheinlich oder unwahrscheinlich erklären! Hatte man nicht, und zwar schon lange Zeit vor Newton und Huygens, - 9 — mit vollem Recht gesagt: Non necesse est, hypotheses esse Veras vel verosimiles; sufficit hoc unum, si calculum obser- vationibus congruentem exhibeant^). Um die Bedeutung eines solchen Ausspruchs zu würdigen, um sein volles Gewicht zu erkennen, mögen mir einige all- gemeine Bemerkungen gestattet sein über das Wesen und die Aufgabe der physikalischen Wissenschaft. Man wird gewohnlich sagen, der Physiher habe die Auf- gabe, die Naturerscheinungen zu erMären. Doch bedarf die- ser Ausspruch — so einfach und selbstverständlich derselbe auf den ersten Blick auch erscheinen mag — doch wohl noch einer näheren Erörterung. Nehmen wir z. B. eine möglichst einfache Naturerschei- nung, betrachten wir die Bewegung eines Steines, welcher in beliebiger Richtung in die Höhe geschleudert ist, und nun eine Zeit lang emporsteigt, dann zu sinken beginnt, tiefer und tiefer sinkt, bis er schliesslich die Erde wieder erreicht. Wie erklärt man die bei dieser Erscheinung beobachteten Umstände? Wie erklärt man z. B., dass die von einem sol-' chen Stein beschriebene Curve eine Parabel ist? Wenn wir die Erklärung, welche der Physiker hierfür giebt, mit einiger Genauigkeit analysiren, so finden wir, dass dieselbe auf zwei Vorstellungen beruht, nämlich erstens auf der Vorstellung von der Trägheit aller Körper, und zweitens auf der Vorstellung von der Anziehung der Erde. Wäre die Anziehungskraft der Erde nicht vorhanden, würde der emporgeschleuderte Stein also nur von seiner Träg- heit beherrscht, so würde er die Richtung, in welcher er zu Anfang emporgeschleudert wurde, ins Unendliche hin behal- ten; er würde also dann eine geradlinige Bahn verfolgen, und in dieser Bahn mit constanter Geschwindigkeit fort- gehen. - 10 — Wäre andererseits die Trägheit der Materie nicht vor- handen, würde der Stein also nur von der Anziehungskraft der Erde beherrscht, so würde der Stoss, durch welchen er zu Anfang emporgeschleudert wurde, auf seine Bewegung ohne allen Einfluss bleiben. Nach dem Aufhören jenes Stosses würde auch sofort jede Wirkung desselben erloschen sein. Der Stein würde sich daher, sobald der Stoss aufgehört hat, einen Augenblick in vollständiger Buhe befinden , und sodann, weil die Anziehung der Erde auf ihn einwirkt, auf kürzestem Wege zur Erde hinbewegen. Nun sind aber — wird der Physiker fortfahren — heide Ursachen vorhanden. Die Trägheit ist vorhanden, und gleich- zeitig auch die Anziehung der Erde. In Folge des Zusammen- wirkens heider Ursachen entsteht diejenige Bewegung, bei welcher der Stein eine parabolisch gekrümmte Bahn durchläuft. Wie erklären sich nun aber — werden wir weiter fragen — jene beiden hier ins Spiel kommenden Ursachen? Woher kommt es, dass die Körper träge sind? Und woher kommt es, dass die Körper von der Erde angezogen werden? — Auf diese Fragen giebt die physikalische Wissenschaft Tceine Ant- wort. Die Trägheit der Körper und die anziehende Wirkung der Erde sind bei ihr Grundvorstellungen, — sind bei ihr Dinge, die nicht weiter erklärbar, die völlig unbegreiflich sind. Also die Sache, welche ursprünglich zur Erklärung vor- gelegt war, die Bewegung des emporgeschleuderten Steines wird zurückgeführt auf die Existenz'' zweier anderer Dinge, auf die Trägheit und auf die Erd- Anziehung ; und diese beiden andern Dinge bleiben unerklärt! Scheint es doch, als wenn dadurch wenig Vortheil erwüchse! Welchen Nutzen hat es denn, wenn wir nun an Stelle der zu erklärenden Sache selber* zwei andere Sachen haben, die ebenfalls der Erklärung be- dürftig sind! Wir haben hier einen Umstand übersehen. Wir können den Stein mit beliebiger Geschwindigkeit und in beliebiger Richtung emporwerfen. Geben wir ihm eine etwas andere — 11 — Geschwindigkeit oder eine etwas andere Richtung, so erhal- ten wir auch jedesmal eine etwas andere Art seiner Be- wegung; eine etwas andere Curve für die von ihm durch- laufene Bahn. Wir haben es hier also nicht mit einer einzigen Erschei- nung, sondern mit unendlich vielen Erscheinungen zu thun. Air diese unendlich vielen Erscheinungen lassen sich zurück- führen auf die beiden vorhin angegebenen örund Vorstellungen. Und es wird also durch jene Zurückführung die Anzahl der unerMärbaren Dinge vermindert, sehr erheblich vermindert. Denn an Stelle jener unendlich vielen Erscheinungen, um deren Erklärung es sich handelt, haben wir jetzt nur zwei uner- klärbare Dinge, die Trägheit der Materie, und die Anziehungs- kraft der Erde^). Ganz ähnliches ist zu sagen in Bezug auf das Newton' sehe Gesetz, überhaupt in Bezug auf die Newton' sehe Theorie, Newton hat, wenn wir uns strenge ausdrücken wollen, die Bewegungen der Himmelskörper keineswegs erklärt. Newton hat aber durch seine Theorie die unendliche Mannigfaltigkeit, welche in diesen Bewegungen sich darbietet, zurückgeführt auf nur zwei unerklärt bleibende Dinge, nämlich zurück- geführt auf die Trägheit der Himmelskörper und auf eine zwischen ihnen stattfindende Anziehung. Ebenso wie die Geometrische Wissenschaft, die Theorie der Dreiecke, der Kreise, der Kegelschnitte in streng mathe- matischer Weise emporgewachsen ist aus wenigen Grund- sätzen, aus wenigen Axiomen, die ihrerseits nicht weiter er- klärbar, nicht weiter demonstrabel sind ; ebenso oder wenigstens ähnlich verhält es sich auch mit jener Theorie, welche New- ton für die Bewegung der Himmelskörper aufgestellt hat. Sie kann Schritt vor Schritt in streng mathematischer Weise deducirt werden aus jenen beiden Grundvorstellungen der Trägheit \md Anziehung , d.i. aus zwei Principien, die ihrer- seits nicht weiter erklärlich sind. Ist es nicht aber als ein Fehler, als ein Mangel dieser — 12 - Theorie zu bezeichnen, dass ihre Grundvorstellungen so völlig unbegreiflicher Natur sind! Immerhin mag man diesen Um- stand als einen Mangel ansehen. Nur dürfte es ausserhalb der menschlichen Fähigkeiten liegen, denselben zu beseitigen. Denn v\rollten wir eine physikalische Theorie nicht von irgend welchen unbegreiflichen und hypothetischen Grundvorstel- lungen, sondern von Sätzen ausgehen lassen, die den Stem- pel unumstösslicher Sicherheit an sich tragen, die durch sich selber die Bürgschaft unangreifbarer Wahrheit bieten, so würden v^ir gezwungen sein, zu den Sätzen der Logik oder Mathematik unsere Zuflucht zu nehmen. Aus derartigen rein formalen Sätzen eine physikalische Theorie deduciren zu wollen, würde aber ein Ding der Unmöglichkeit sein. — Ebenso wenig etwa wie ein Techniker aus all seinen Kenntnissen und Fähig- keiten heraus eine Eisenbahn erbauen kann, wenn ihm das dazu erforderliche Material fehlt, ebenso wenig wird man, aus einem rein formalen Satz, wie etwa 2.2 = 4, eine physi- kalische Theorie zu deduciren, jemals im Stande sein. Ex nihilo nil fit. Bis zu welcher Höhe und Vollendung unsere physika- lischen Theorien im Laufe der Jahrhunderte und Jahrtausende auch emporsteigen mögen, immer werden diese Theorien von Principien, von Hypothesen ausgehen müssen, die (ian und für sich betrachtet) als unbegreiflich, als mllkührlich zu be- zeichnen sind. Somit werden wir jenen Worten : Non jiecesse est, hypo- theses esse veras vel verosimiles; sufficit hoc unum si cal- culum observationibus congruentem.exhibeant — unsere Bei Stimmung nicht weiter versagen können. Ja noch mehr! Wir werden einräumen müssen, dass bei jenen Principien oder Hypothesen, eben weil sie unbegreiflich, weil sie will- kührlich sind, von einer Richtigkeit oder Unrichtigkeit, von einer Wahrscheinlichkeit oder Unwahrscheinlichkeit gar nicht die Rede sein kann. Allerdings, — wir werden das Wort wahrscheinlich, und - 13 — ebenso das Wort wahr zuweilen anwenden können als ein Epitheton omans, — wir werden z.B. sagen: Thomas Young und Fresnel hätten bei ihren Untersuchungen über die Er- scheinungen des Lichtes die wahren Principien zu ihrem Aus- gangspunkt gewählt. Damit aber werden wir doch immer nur behaupten wollen, dass jene Principien bis zum heutigen Tag sich am Besten bewährt haben; nicht aber, dass sie für alle Ewigkeit feststehen; und noch viel weniger, dass sie (gleich einem Satz der Logik oder Mathematik) durch sich selber die Bürgschaft unangreifbarer Festigkeit, die Bürg- schaft unumstösslicher Wahrheit darbieten. Im strengen Sinne genommen, werden die Principien, die Ausgangspunkte einer physikalischen Theorie niemals als wahr oder wahrscheinlich bezeichnet werden dürfen; — sondern sie werden (mit Bezug auf unser Denkvermögen, mit Bezug auf unsem menschlichen Verstand) immer als etwas WilTkühr- liches und Unbegreißiches zu bezeichnen sein. Spricht sich in solchem Sinne doch auch Leibniz aus: Er leugne nicht, dass die Naturerscheinungen aus einmal festgestellten Prin- cipien mathematisch und mechanisch erklärt werden müssten, aber diese Principien selber seien nicht weiter abzuleiten aus den Gresetzen mathematischer Nothwendigkeit^). — Und wenn wir vorhin sagten, der Physiker habe die Aufgabe, die Er- scheinungen, welche sich in der Natur darbieten, zu erklären, so werden wir uns gegenwärtig in dieser Beziehung genauer ausdrücken müssen, indem wir sagen, er habe die Aufgabe, jene Erscheinungen zurückzuführen auf möglichst wenige willkührlich zu wählende Principien, mit andern Worten, sie zurückzuführen auf möglichst wenige unbegreiflich bleibende Dinge. Je grösser die Anzahl von Erscheinungen ist, welche von einer physikalischen Theorie umfasst werden, und je kleiner gleichzeitig die Anzahl der unerklärbaren Dinge ist, auf welche die Erscheinungen zurückgeführt sind, um so voll- kommener wird die Theorie zu nennen sein. — 14 — Die Principien der Galilei-Newton'schen Theorien be- stehen in zwei Gesetzen, in dem schon von Galilei aus- gesprochenen Trägheitsgesetz, und in dem später von New- ton hinzugefügten Anziehungsgesetz. — Und wenn wir nun auch auf eine Erklärung dieser Grundvorstellungen Verzicht leisten müssen, — um so unerbittlicher werden wir ver- langen, dass uns wenigstens eine deutliche Darlegung ihres Inhalts zu Theil werde; — aber auch Äieftee werden mancher- lei Schwierigkeiten uns entgegentreten; sie werden uns zwin- gen, jene Gesetze zu zerlegen in eine grössere Anzahl ein- heitlicher Grundvorstellungen, sie aufzulösen in eine grössere Anzahl fundamefdaler Principien. Ein in Bewegung gesetzter materieller Punkt läuft, falls keine fremde Ursache auf ihn einwirkt, falls er vollständig sich selber überlassen ist, in gerader Linie fort, und legt in gleichen Zeiten gleiche Wegäbschnitte zurück. — So lautet das von Galilei ausgesprochene Trägheitsgesetz. In dieser Fassung kann der Satz als Grundstein eines wissenschaftlichen Gebäudes, als Ausgangspunkt mathema- tischer Deductionen unmöglich stehen bleiben. Denn er ist vollständig unverständlich. Wir wissen ja nicht, was unter einer Bewegung in gerader Linie zu verstehen ist; oder wir wissen vielmehr, dass diese Worte in sehr verschiedenartiger Weise interpretirt werden können, unendlich vieler Bedeu- tungen fähig sind. Denn eine Bewegung z, B., welche von unserer Erde aus betrachtet, geradlinig ist, wird von der Sonne aus betrachtet krummlinig erscheinen, — und wird, wenn wir unsern Stand- punkt auf den Jupiter, auf den Saturn, auf andere Himmels- körper verlegen, jedesmal durch eine andere krumme Linie repräsentirt sein^). Kurz! Jede Bewegung, welche mit Be- zug auf einen Himmelskörper ^eradZim^ ist, wird mit Bezug auf jeden andern Himmelskörper krummlinig erscheinen. Jene Worte des Galilei, dass ein sich selber überlasse- ner materieller Punkt in gerader Linie dahingeht, treten uns — 15 — also entgegen als ein Satz ohne Inhalt, als ein in der Luft schwebender Satz, der (um verständlich zu sein) noch eines bestimmten Hintergrunds bedarf. Irgend ein specieller Kör- per im 'Weltall muss uns gegeben sein, als Basis unserer Beurtheilung, als derjenige Gegenstand, mit Bezug auf wel- chen alle Bewegungen zu taxiren sind, — nur dann erst werden wir mit jenen Worten einen bestimmten Inhalt zu verbinden im Stande sein. Welcher Körper ist es nun, dem wir diese bevorzugte Stellung einräumen sollen? Oder sind vielleicht verschiedene Körper anzuführen? Sind vielleicht die Bewegungen in der Nähe unserer Erde auf die Erdkugel, die Bewegungen in der Nähe der Sonne auf den Sonnenball zu beziehen ? Leider erhalten wir auf diese Fragen weder bei Galilei noch bei Newton eine bestimmte Antwort. Wenn wir aber das von ihnen begründete und bis auf die heutige Zeit mehr und mehr erweiterte theoretische Gebäude aufmerksam durch- mustern, so können uns seine Fundamente nicht länger ver- borgen bleiben. Wir erkennen alsdann leicht, dass sämmt- liche im Universum vorhandene oder überhaupt denkbare Be- wegungen zu beziehen sind auf ein und denselben Körper. Wo dieser Körper sich befindet, welche Gründe vorhanden sind, einem einzigen Körper eine so hervorragende, gleichsam souveräne Stellung einzuräumen, — hierauf allerdings erhal- ten wir keine Antwort. Als erstes Princip der Galilei-Newton'schen Theorie würde daher der Satz hinzustellen sein, dass an irgend einer unbekannten Stelle des Weltraumes ein unbekannter Körper vorhanden ist, und zwar ein absolut starrer Kör- per, ein Körper, dessen Figur und Dimensionen für alle Zeiten unveränderlich sind. Es mag mir gestattet sein, diesen Körper kurzweg zu bezeichnen als den Körper Alpha. Hinzuzufügen würde sodann sein, dass unter der Bewegung eines Punktes nicht etwa seine Ortsveränderung in Bezug auf Erde oder Sonne, - 16 - sondern seine Ortsveränderung in Bezug auf jenen Körper Alpha zu verstehen ist.^) Von hier aus betrachtet, gewinnt nun das Galilei'sche Gesetz seinen deutlich erkennbaren Inhalt. Es präsentirt sich uns als ein zweites Frincip, darin bestehend, dass ein sich selbst über- lassener materieller Punkt in gerader Linie fortschreitet, also in einer Bahn dahingeht, die geradlinig ist in Bezug auf jenen Körper Alpha. Doch wir haben bisher erst einen ITieil des Galilei- schen Gesetzes in Betracht gezogen. Jenes Gesetz sagt noch mehr, es behauptet, dass ein sich selbst überlassener Punkt nicht nur in gerader Linie, sondern auch mit constanter Ge- schwindigkeit fortschreite, dass er also in gleichen Zeitinter- vallen gleich grosse Wegabschnitte zurücklege. Sollen diese Worte verständlich sein , so müssen wir zunächst wissen, was unter gleich grossen Zeitintervallen zu verstehen ist, also wis-- sen, in welcher Weise eine gegebene Zeitlänge zu beurtheilen, zu taxiren, zu messen ist. Wir sind gewohnt, die ümdrehungszeit unserer Erdkugel als unsere Zeiteinheit zu betrachten; wir wissen die Zeit kaum anders zu messen, als indem wir denjenigen Zeitraum, wel- cher zwischen zwei aufeinander folgenden Culminätionen eines Sternes verstreicht, zur Einheit wählen. Diese Zeiteinheit, den sogenannten Stemtag, zerlegen wir dann in 24 Stunden, die Stunde in 60 Minuten, die Minute in 60 Secunden. Li solcher Weise reguliren wir die astronomischen Uhren; und von diesen abhängig sind unsere gewöhnlichen Uhren. Durch die aufeinanderfolgenden Umdrehungen der Erd- kugel entsteht also in der fortschreitenden Zeit eine Scala, deren grössere Abschnitte als Sterntage, und deren kleinere Abschnitte als Stunden, Minuten, Secunden bezeichnet werden. Haben wir nun wirklich diese Scala als eine v'öUig correcte zu beibrachten, haben wir wirklich zwei entsprechende Abschnitte derselben als genau einander gleich , zwei Stemtage z. B. als — 17 — genau gleich lange Zeitintervalle anzusehen? Sollten wir wirk- lich diese von unserer winzigen Erdkugel dictirte Zeitscala als gültig anzusehen haben bei unseren Betrachtungen über das Universum ! Haben nicht alle andern Himmelskörper gleichen Anspruch auf eine solche Bevorzugung ! Oder sollen wir etwa annehmen, dass sämmtliche Himmelskörper in ihren Rotations- bewegungen mit einander harmoniren, und übereinstimmende Scalen liefern, der Art, dass gleiche Abschnitte der einen Scala stets mit gleichen Abschnitten einer jeder anderen correspondiren ! An und für sich schon dürfte es keinem Zweifel unter- liegen, in welcher Weise diese Fragen zu beantworten sind. Und die letzte Spur einer Unschlüssigkeit muss verschwinden, wenn wir uns daran erinnern, dass einige Astronomen unserer Zeit zu dem Resultat gelangt sind, dass die Rotationsbewegung der Erdkugel allmählig langsamer und langsamer werde, dass also die sogenannten Sterntage nicht durchweg von gleicher Länge sind, sondern allmählig grösser und grösser werden. Sie haben gefunden, dass in jedem Jahrtausend der letzte Stern- tag etwa um ein tausendtel Secunde grösser ist, als der erste. Allerdings soll es zweifelhaft sein, ob die Rechnungen, durch welche jene Astronomen zu diesem Resultat gelangt sind, die hinreichende Sicherheit besitzen, andrerseits auch, ob die den Rechnungen zu Grunde gelegten empirischen Data die für so difficile Dinge erforderliche Zuverlässigkeit dar- bieten. Bedenken wir aber, das die Bewegung von Ebbe und Fluth, dass ferner jedes Sinken und Steigen der Tempe- ratur auf die Rotationsbewegung der Erdkugel von Einfluss sein muss , so können wir keinen Augenblick daran zweifeln, dass die theoretische Astronomie zu solchen Resultaten der- einst mit voller Sicherheit gelangen wird, dass sie dereinst mit voller Bestimmtheit anzugeben im Stande sein wird, um wie viel die Umdrehungszeit der Erde innerhalb eines Jahr- tausends ab- oder zunimmt. Absurd also würde es sein, wenn wir sagen wollten: Kbxthakn. 2 - 18 — Zwei gegebene Zeitintervalle sind gleich lang, sobald beide gleich viel Sterntage, oder gleich viel Sternsecunden umfas- sen; und wir kommen auf diese Weise, mit Bezug auf jenen Satz des Galilei, in eine eigenthümliche Verlegenheit. Ein sich selbst überlassener materieller Punkt durchläuft in gleichen Zeitintervallen gleich grosse Wegabschnitte. So lauten die Worte jenes Gesetzes. Und es scheint unmöglich, mit diesen Worten einen bestimmten Inhalt zu verbinden, so lange wir nicht wissen, was unter gleichen Zeitlängen zu ver- stehen ist. Aber nur scheinbar! Denn wenn wir jenen Stein des Anstosses bei Seite werfen, jenen irrationalen Begriff der gleich grossen Zeitintervalle abscheiden, so bleibt von dem Satze immerhin noch ein bestimmtes Residuum übrig, welches so lautet: Zwei materielle Punkte, von denen jeder sich selbst über- lassen ist, bewegen sich in solcher Weise fort, dass gleiche Wegabschnitte des einen immer mit gleichen Wegabschnit- ten des andern correspondiren. In dieser Form und Beschränkung repräsentirt der Satz ein drittes Frineip der Galilei- New tonischen Theorie, ein Princip, dessen Inhalt eben so deutlich zu Tage liegt, wie derjenige der beiden erstgenannten. Aehnlich wie früher dem Princip des Körpers Alpha eine gewisse Begriffsbestimmung , die Definition der Bewegung sich anlehnte ; in ähnlicher Weise tritt uns nun auch gegenwärtig eine wichtige Definition entgegen, in unmittelbarer Verbin- dung mit dem letztgenannten Princip. In Uebereinstimmung mit dem Geiste Galilei's und Newton's, in Uebereinstim- mung mit der ganzen Entwicklung der von ihnen begründeten Theorie, können wir nämlich jetzt (nachdem das dritte Prin- cip in der angegebenen Weise festgestellt ist) gleiche Zeit- intervalle als diejenigen definiren, innerhalb welcher ein sich selbst überlassener Punkt gleiche Wegabschnitte zurücklegt. — Von hier aus betrachtet erhalten wir Aufschluss über den - 19 — eigentlichen Inhalt der von den Astronomen ausgesprochenen Behauptung, dass in jedem Jahrtausend der letzte Tag etwas länger sei als der erste; wir sehen: ihr Inhalt besteht darin, dass ein sich selbst überlassener Punkt in jenem letzten Tage einen etwas grösseren Weg zurücklegen würde, als im ersten. Nachdem wir in solcher Weise eine deutliche Vorstellung erhalten haben über das 6 alil einsehe Trägheitsgesetz, kön- nen wir nun unmittelbar übergehen zu dem Newton'schen Anziehungsgesetz. Mit Bezug auf irgend ein System materieller Punkte würde dasselbe (der Hauptsache nach) dahin auszusprechen sein, dass jeder dieser Punkte in jedem Augenblick einen Befehl zur Beschleunigung, zur Steigerung seiner Ge- schwindigkeit erhält, dass dieser Befehl ausgeht von den übrigen Punkten, und dass sein Inhalt in bestimmter Weise abhängig ist von der augenblicklichen Gruppirung, von der augenblicklichen Configuration der Punkte. Auch dieses Gesetz') würde aufzulösen sein in eine ge- wisse Anzahl fundamentaler Principien. — Wollten wir in- dessen hierauf genauer eingehen, so würden wir ein weit- gedehntes , übrigens plan daliegendes Gebiet zu durchwandern haben. Begegnen würden uns dabei die sogenannten Impulse und Kräfte, die Eigenschaften dieser Kräfte, die Regeln über ihre Zusammensetzung und Zerlegung -^ lauter Dinge, die (an und für sich betrachtet) nichts Wesentliches enthalten, sondern nur als Worte, als Abkürzungen anzusehen sind, dazu bestimmt, um die Durch Wanderung jenes Gebietes (durch Einführung geeigneter Zwischenstationen) ein wenig bequemer zu machen. In dem ganzen plan daliegenden Gebiet würde nur noch ein einziger Höhenpunkt, eine einzige begriffliche Schwierigkeit zu überwinden sein, nämlich der Begriff der sogenannten Masse, Aber es würde zu weit führen, wenn wir auf diese Dinge uns weiter einlassen wollten. 2* — 20 — Wichtiger erscheint es, noch einige Bemerkungen hin- zuzufügen über die schon genannten Principien, namentlich in Bezug auf das in erste Linie gestellte Princip , dass irgendwo im Weltraum ein absolut starrer Körper Alpha existire, und dass unter der Bewegung eines Gegenstandes immer nur seine Ortsveränderung in Bezug auf jenen Korper Alpha zu ver- stehen sei. Sollte ein solches Princip — sonderbar und befremdlich wie es klingt — denn wirklich durchaus noth- wendig sein! Als absolut unentbehrlich dürfte dasselbe für eine Theorie der Bewegung im Allgemeinen — nicht zu be- zeichnen seiU; insofern als auch ohne dasselbe eine solche Theorie als denkbar erscheint. Wir müssten dann aber jede Bewegung definiren als eine relative Ortsveränderung zweier Punkte gegen einander, und würden alsdann zu einer Theorie gelangen, welche von der Galilei-Newton'schen wesent- lich verschieden ist, und deren üebereinstimmung mit den beobachteten Erscheinungen sehr zweifelhaft sein dürfte. — Wollen wir festhalteii an jener spedellen von Galilei und New- ton begründeten Theorie, so erscheint die Einführung des Körpers Alpha als eine Sache der NothwendigJceit. Wie wollte man sonst das 6a lil einsehe Trägheitsgesetz definiren! Und wie wollte man ohne dieses Gesetz die Theorie zu entwickeln im Stande sein! Allerdings! Man pflegt den Körper Alpha in der Regel zu ignoriren; man spricht von dem absoluten Raum, von der absoluten Bewegung. Das dürften nur andere Worte für dieselbe Sache sein. Denn der Clmrakter, das eigentlich Wesentliche der sogenannten absoluten Bewegung besteht (wie Niemand bestreiten dürfte) darin, dass alle Ortsveränder- ungen bezogen werden auf ein und dasselbe Object, und zwar auf ein Object, welches räumlich ausgedehnt, und unveränder- lich, übrigens nicht näher angebbar ist. Nun dieses Object ist es, welches von mir bezeichnet wurde als ein unbekann- ter starrer Körper, bezeichnet wurde als der Körper Alpha. Aber es erhebt sich die weitere Frage ; ob jener Körper — 21 — denn eine wirkliche, concrete Existenz besitze gleich der Erde, der Sonne und den übrigen Himmelskörpern. Wir könnten, wie mir scheint, hierauf antworten, dass seine Exi- stenz mit demselben Recht, mit derselben Sicherheit behaup- tet werden kann wie etwa die Existenz des Licht- Aethers oder die des elektrischen Fluidums. Treten bei einer rein mathematischen Untersuchung gleichzeitig verschiedene Variable auf, und soll der Zusam- menhang zwischen diesen Variablen in übersichtlicher Weise zur Anschauung gebracht werden, so ist es häufig zweck- mässig oder selbst nothwendig, eine intermediäre Variable ein- zuführen, und sodann den Zusammenhang anzugeben, in welchem jede der gegebenen Variablen zu dieser intermediären Grösse steht. .-— Aehnliches zeigt sich uns in den physika- lischen Theorien. Um den Zusammenhang zwischen verschie- denen Phänomenen, die gleichzeitig sich darbieten, zu über- sehen , dient häufig die Einführung eines nur gedachten Vor- ganges, eines nur gedachten Stoffes, welcher gewissermassen ein internlediäres Princip, einen Centralpunkt repräsentirt, um von ihm aus in verschiedenen Richtungen zu den einzel- nen Phänomenen zu gelangen. In solcher Weise werden die einzelnen Phänomene mit einander verbunden, indem jedes derselben in Verbindung gesetzt wird mit jenem Centralpunkt. Eine derartige Rolle spielt der Lichtäther in der Theorie der optischen Erscheinungen , und das elektrische Fluidum in der Theorie der elektrischen Erscheinungen; und eine ähnliche Rolle spielt auch jener Körper Alpha in der allgemeinen Theorie der Bewegung. Ebenso femer, wie die in einer gegebenen Substanz enthaltenen elektrischen Fluida ihrer Quantität nach unbestimmt sind, nämlich (unbeschadet der ^Theorie) um gleich viel ver- mehrt oder vermindert werden können; ebenso haftet auch jenem Körper Alpha eine gewisse Unbestimmtheit an. Denn ohne Beeinträchtigung der Galilei -New tonischen Theorie kann derselbe ersetzt werden durch irgend einen andern Körper — 22 — Alpha; falls nur diesem letztern eine progressive Bewegung zuerkannt wird; die mit Bezug auf den erstem geradlinig und von constanter Geschrnndigkeit ist. Diese Bedingungen aller- dings sind nothwendig. Denn die Substitution eines Körpers Alpha, der in Bezug auf den ersten Körper Alpha eine Be- wegung anderer Art, z. B. eine rotirende Bewegung besitzt^ würde vöüig unzulässig sein.®) Ebenso endlich, wie die gegenwärtige Theorie der elektrischen Erscheinungen vielleicht dereinst durch eine andere Theorie ersetzt, und die Vorstellung des elektrischen Fluidums beseitigt werden könnte; ebenso ist es wohl auch kein Ding der absoluten Unmöglichkeit, dass die Galilei- New ton' sehe Theorie dereinst durch eine andere Theorie, durch ein anderes Bild verdrängt, und jener Körper Alpha überflüssig gemacht werde. Wesentlich Neues dürfte in meinen Expositionen nicht enthalten sein. Vielmehr habe ich mich nur bemüht, die der Galilei-Newton'schen Theorie zu Grunde liegenden Prin- cipien, welche mehr durch ihre Anwendung, als in Worten allgemein anerkannt, allgemein acceptirt sind, zum deutlichen Ausdruck zu bringen. Gleichzeitig hoffe ich, dass meine Expositionen dazu beitragen dürften, um das Wesen der mathe- matisch-physikalischen Theorien überhaupt — in das gehörige Licht zu stellen, um zu zeigen, dass^diese Theorien angesehen werden müssen als subjective, aus uns selber entsprungene Gestaltungen, welche (von willkührlich zu wählenden Prin- cipien aus, in streng mathematischer Weise entwickelt) ein möglichst treues Bild der Erscheinungen zu liefern bestimmt sind. Ebenso etwa wie unsere Sehnerven auf alle Reize der Aussenwelt, welcher Art sie auch sein mögen, beständig mit — 23 — Lichtempfindungen antworten; in ähnlicher Weise antwortet unser Denkvermögen auf alle im Bereich der unorganischen Natur angestellten Beobachtungen und Wahrnehmungen mit Bildern, die aus Zahlen, Punkten und Bewegungen zusam- mengesetzt sind. Objective Wirklichkeit oder wenigstens all- gemeine Nothwendigkeit würde — wie Helmholtz^) mit Recht bemerkt — den Grundlinien eines solchen Bildes , den Princi- pien einer solchen Theorie immer erst dann beizumessen sein, wenn wir nachweisen könnten, dass diese Fnncipien die ein- zig möglichen sind, dass neben dieser Theorie keine zweite denkbar ist, welche den Erscheinungen entspricht. Dass einer derartigen Anforderung zu genügen, ausserhalb der menschlichen Fähigkeiten liegt, bedarf wohl keiner Erläu- terung. So hoch und vollendet also eine Theorie auch dastehen mag, immer werden wir gezwungen sein, von ihren Principien uns aufs Genaueste Rechenschaft abzulegen. Immer werden wir im Auge behalten müssen, dass diese Principien etwas WillkührlicJies , und folglich etwsLS Bewegliches^^) sind; damit wir wo möglich in jedem Augenblick übersehen können, welche Wirkung eine Äenderung dieser Principien auf die ganze Ge- staltung der Theorie ausüben würde; und zur rechten Zeit eine solche Äenderung eintreten zu lassen im Stande sind; damit wir (mit einem Wort) die Theorie vor einer Verstei- nerung, vor einer Erstarrung zu bewahren im Stande sind, welche nur verderblich , für den Fortschritt der Wissenschaft nur hinderlich sein kann. Bemerknngen und Znsätze. 1. (Seite 8). Ein von Huygens (oder Hugens) am 18. November 1690 an Leibniz gerichteter Brief (Leibniz mathematische Schriften, herausgegeben von Gerhardt. Berlin 1850. Erste Abtheilung. II. Band, Seite 57) enthält diejenige Stelle, auf welche mein Vortrag Bezug nimmt. Sie lautet: „Pour ce qui est de la Cause du Reflux que donne Mr. New- ton je ne m'en contente nuUement, ni de toutes ses autres Theories qu'il bastit sur son principe d'attraetion, qui me paroit absurde, ainsi que je Tay desia temoigne dans TAd- dition au Discours de la Pesanteur. Et je me suis souvent etonne, comment il s'est pu donner la peine de faire tant de recherches de calculs difficiles, qui n'ont pour fondement que ce mesme principe." 2. (Seite 9). Die Worte: „Non necesse est, hypotheses esse Veras vel verosimilesj sufficit hoc unum, si calculum observationibus congruentem exhibeant," sind in der bekannten Schrift von Lew es über Aristoteles als ein Ausspruch von Copemicus citirt. (Vergl. die deutsche Ausgabe jener Schrift. Leipzig 1865. Seite 93.) Da es nun immerhin angenehm ist, sich auf eine Autorität stützen zu können, so war es eigent- lich meine Absicht, mich geradezu auf Copernicus zu be- rufen. — Als ich aber kurz vor dem Tage des Vortrages das Werk von Copernicus durchblätterte, zeigte sich, dass jene Worte, wenn auch in der Vorrede des Werkes enthalten, doch nicht von Copernicus selber herrühren. Denn in der Vorrede (Nicolai Copernici de revolutionibus orbium coelestium libri sex. Varsaviae. 1854. Pag. 1) heisst es allerdings: „Neque enim necesse est, eas hypotheses esse Veras, imo ne verosimiles quidem, sed sufficit hoc unum, si calculum observationibus congruentem exhibeant." - 25 — Mit Bezug hierauf aber befindet sich unter den historischen Notizen über Copernicus (Pag. XXXII der citirten Ausgabe) folgende Bemerkung: „Prima operis Copernici editio in hunc modum facta est. Copernicus postquam librum scripsit, diu perpolitum tandem Tidemanno Gysio Episcopo Culmensi sibi amicissimo^ qui multis jam annis eum ut ederet hortatus erat, sua voluntate typis excudendum tradidit. Gysius misit Rhetico professori Wittembergensi, qui Norimbergam ad librum in lucem edendum aptissimam judicaverat, et librum typis excu- dendum curaturos Jpannem Schonerum et Andream Osiandrum elegit. Osiander autem^ ut videtur, eo consilio usus^ ut animi nova doctrina incitati mitigarentur, Copernici praefatione re- jecta^ ipse pauca^ Copernici rationi et sententiae non consen- tanea^ ad lectorem ita praefatus est, ut novam doctrinam tanquam conjecturam proponeret. Quod aegre ferens Gysius, in literis die 26 mensis Julii anni 1543 (i. e. duobus mensi- bus post Copernici mortem) ad Rheticum datis, malam fidem et editoris et typographi deplorat.'^ Somit ist es wohl als sicher zu betrachten, dass jene Worte „Neque enim necesse est, hypotheses etc." nicM von Coper- nicus herstammen. Dass indessen Copernicus sich gegen die- selben ausgesprochen hätte, dafür dürfte kein Beweis vor- liegen. Bekanntlich empfing er ja den Druck seines Werkes erst auf seinem Sterbebett. Obwohl ich nun in solcher Weise der Stütze einer so ge- wichtigen Autorität mich beraubt sah, so habe ich doch in meinem Vortrage an jenen Worten festgehalten. Und der Vor- •trag selber mag zeigen, in welchem Sinne und aus welchen Gründen ich für dieselben einzutreten willens bin. 3. (Seite 11). Diese kurze und einfache Betrachtung über die Bewegung eines fallenden Körpers ist von mir schon ange- stellt worden in einem früheren Vortrage von im Ganzen ähnlicher Tendenz. (C. Neumann: der gegenwärtige Stand- punkt der mathematischen- Physik. Tübingen. 1865). — 26 — 4. (Seite 13). Man vergleiche Leibniz' mathematische Schriften, herausgegeben von Gerhardt. Halle 1860. Zweite Abtheilung. U. Bd. Seite 135. 5. (Seite 14). Die Jcreisförmige Bewegung, welche der Mond besitzt, so lange wir ihn von der Erde aus betrachten, ver- wandelt sich bekanntlich, sobald wir unsern Standpunkt auf die Sonne verlegen, in eine Bewegung von ganz anderem Charakter, in eine Bewegung, deren Bahn nicht mehr durch eine Kreislinie, sondern durch eine schlangenformig fort- laufende Linie repräsentirt ist. Und ebenso wird offenbar auch eine mit Bezug auf unsere Erde geradlinige Bewegung in eine Bewegung ganz anderer Art, in irgend welche krumm- linige Bewegung sich verwandeln, sobald wir wiederum unsern Standpunkt von der Erde nach der Sonne verlegen. 6. (Seite 16). Es bedarf wohl kaum der Bemerkung, dass unter dem starren Körper Alpha ein System starr verbundener Punkte zu verstehen ist, und dass die Anzahl dieser Punkte mindestens gleich drei sein muss. Ebenso gut könnte der Körper Alpha natürlich auch aufgefasst werden als ein System starr mit einander verbundener gerader Linien, deren Anzahl mindestens gleich ^wei sein müsste. Dass diese Punkte oder Linien materiell sind, ist durchaus unnöthig. So könnte z. B. das System Alpha constituirt sein durch die drei sogenannten Hauptträgheitsaxen irgend eines nicht starren (sondern in seiner Gestaltung sich mit der Zeit ändernden) materiellen Körpers. Ja man könnte (das Bedürf- niss nach Einfachheit würde dazu hindrängen) die Behauptung wagen, dass das System Alpha[repräsentirt sei durch die Haupt- trägheitsaxen des Weltalls (nämlich durch die Hauptträgheits- axen sämmtlicher im Universum enthaltenen Materie). Nur würde leider eine solche Behauptung so gut wie ohne Inhalt sein, insofern keine Möglichkeit vorhanden sein dürfte, sie durch empirische Data sei es zu befestigen, sei es zu erschüt- tern. (Vergl. den Schluss der Bemerkung 8.). — 27 — 7. (Seite 19). Von dem Newton 'sehen Gesetz unterschei- det sich das von mir in der Theorie der Elektrodynamik pro- ponirte Gesetz nur dadurch; dass hier der von dem einen Massenpunkt gegebene Befehl nicht momentan zum andern Massenpunkte hingelangt, sondern einer gewissen Zeit bedür- fen soll; um den Weg yom einen Punkte zum andern zu durchlaufen. (Vergl. die Math. Annalen. Bd. I. Seite 317). 8. (Seite 22). Es mag hier eine Betrachtung ihre Stelle finden, welche sich leicht aufdrängt , und aus welcher deutlich hervorgeht, wie unerträglich die Widersprüche sind, welche sich einstellen, sobald man die Bewegung nicht als etwas Absolutes, sondern nur als etwas Relatives auffasst. Nehmen wir an, dass unter den Sternen sich einer befinde, der aus flüssiger Materie besteht, und der — ebenso etwa wie unsere Erdkugel — in rotirender Bewegung begriffen ist um eine durch seinen Mittelpunkt gehende Axe. In Folge einer solchen Bewegung, infolge der durch sie entstehenden Centri- fugalkräfte wird alsdann jener Stern die Form eines abgeplat- teten Ellipsoids besitzen. Welche Form wird — fragen wir nun — der Stern annehmen, falls plötzlich alle übrigen Him- melskörper vernichtet (in Nichts verwandelt) würden? Jene Centrifugalkräfte hängen nur ab von dem Zustande des Sternes selber; sie sind vöUig unabhängig von den übrigen Himmelskörpern. Folglich werden — so lautet unsere Antwort — jene Centrifugalkräfte ynxA die durch sie bedingte ellipsoidische Gestalt ungeändert fortbestehen, völlig gleichgültig ob die übri- gen Himmelskörper fortexistiren oder plötzlich verschwinden. Wir können aber, falls die Bewegung als etwas nur Rela- tives, nur als eine relative Ortsveränderung zweier Punkte gegen- einander, definirt wird, die vorgelegte Frage noch von einer andern Seite her in Erwägung ziehen, und gelangen alsdann zu einer ganz entgegengesetzten Antwort. Denken wir uns nämlich sämmtliche übrigen Weltkörper vernichtet, so sind jetzt im Universum nur noch diejenigen materiellen Punkte vorhanden, aus denen der Stern selber besteht. Diese aber be- — 28 - sitzen keine relative Ortsveränderong^ befinden sich also (auf Grund der für den Augenblick acceptirten Definition) in Ruhe. Folglich wird der Stern — so lautet gegenwärtig unsere Ant- wort — von dem Augenblick an , wo die übrigen Weltkorper vernichtet sind, sich im Zustande der Ruhe befinden, mithin die diesem Zustande entsprechende KugdgesbsAt annehmen. Ein so unleidlicher Widerspruch kann nur dadurch yer- mieden werden, dass man jene Definition, die Bewegung sei etwas Relatives, fallen lässt, also nur dadurch, dass man die Bewegung eines materiellen Punktes als etwas Absolutes auf- fasst; wodurch man dann zu jenem Princip des Korpers Alpha hingeleitet wird. Noch eine Betrachtung ähnlicher Art mag angedeutet werden. Geht man von der Vorstellung aus, die Bewegung wäre etwas Relatives, so würde, falls im Universum nur ßwd materielle Punkte vorhanden sind, die einzig mögliche Be- wegung derselben in einer gegenseitigen Annäherung oder Entfernung bestehen. Denmach v^rde die Richtung dieser Bewegung fortdauernd zusammenfallen mit der Richtung der nach dem Newton'schen Gesetz zwischen den beiden Punkten vorhandenen Jn0iehungskTB&.. Hieraus würde folgen, dass die beiden Punkte nothwendiger Weise nach einer gewissen Zeit in einander stürzen, dass also z. B. zvrischen Erde und Sonne ein solcher Zusammensturz erfolgen müsste, falls plötzlich alle übrigen Weltkörper verschwinden. Sollte diesem Zusam- mensturz vorgebeugt, und dafür gesorgt werden, dass die Bewegung zwischen Erde und Sonne trotz jenes Verschwin- dens der übrigen Weltkörper ungeändert dieselbe bleibt, so müsste zwischen Erde und Sonne eine gegenseitige Ein- wirkung supponirt werden, welche nicht mehr dem Newton'- schen Gesetz entspricht, sondern vielmehr aus zwei Theflen besteht, aus einer Anziehung , umgekehrt proportional mit der zweiten Potenz der Entfernung, unil daneben aus einer Äh- stossung, umgekehrt proportional mit der dritten Potenz der Entfernung. Diese Angaben beruhen auf einer neuerdings von - 29 — Hesse publicirten Untersuchung. (Hesse. Vorl. über die analyt. Geometrie des Raumes. Zweite Aufl. Leipzig. 1869. Seite 442). Will man also festhalten an der Galilei -Newton'sehen Theorie, so ist man, wie aus den eben angestellten Betrach- tungen von Neuem hervorgeht, nothwendig gezwungen, den Begriff der absoluten Bewegung zu acceptiren, und ebenso auch zu acceptiren das (zu einer deutlichen Definition dieses Begriffes erforderliche) Frincip des starren Körpers Alpha, Der Körper Alpha mag der Einfachheit willen aufgefasst werden als ein System von drei Linien oder Axen, welche von ein und demselben Punkt ausgehen und aufeinander senk- recht stehen! Die Bestimmung dieses Körpers oder Systemes Alpha ist ein Problem, dessen wirkliche Lösung nur asymp- totisch, nur durch successive Grade der Annäherung erfolgen kann. Prindpiell allerdings ist die Lösung leicht angebbar, näwlich in folgender Weise zu bewerkstelligen. Es sei n die Anzahl sämmtlicher im Universum enthal- tenen materiellen Punkte; ferner seien x, y, ^s? die Coofdinaten je eines solchen Punktes in Bezug auf das Axensystem Alpha. Die gegenseitigen Entfernungen der n materiellen Punkte mögen mit r, ihre Entfernungen vom Anfangspunkt des Axen- systemes Alpha mit q, endlich die Winkel jener Axen gegen die Linien q mit g) bezeichnet werden. Bei Anwendung der Galilei-Newton 'sehen Theorie ergeben sich alsdann für die jr, y, z, folglich auch für die r, 9, 9 Ausdrücke, welche abhängig sind von der Zeit, und ausserdem von 7 w Constan- ten; letztere bestehen aus 6n Integrationsconstanten und aus den n Massen der materiellen Punkte. Die Ausdrücke der Ent- fernungen r lassen sich in Vergleich bringen mit den empi- risch gegebenen Thatsachen, und führen in solcher Weise zur Kenntniss jener In Constanten. Denkt man sich die Werthe dieser In Constanten in die für die Qy tp gefundenen Aus- drücke substituirt, so erhält man Formeln, durch welche die Lage des Systemes Alpha in Bezug auf die n materiellen — 30 — Punkte des Universums für jeden beliebigen Zeitaugenblick angegeben^ das gestellte Problem also gelöst wird. Bei Ausführung der eben genannten Operationen ergiebt sich, dass der Massenmittelpunkt (d. i. der sogenannte Schwer- ptmkt) der n materiellen Punkte eine Bewegung besitzt^ welche in Bezug auf das Axensystem Alpha geradlinig und von cou- stanter Geschwindigkeit ist. Gleichzeitig zeigt sich , dass die erwähnte Vergleichung der Ausdrücke r mit den empirischen Thatsachen nicht zur vollständigen Eenntniss der 7n Gon- stauten hinleitet, und dass in Folge dessen dem Systeme Alpha principiell eine gewisse Unbestimmtheit anhaftet, darin bestehend, dass ein solches System vertauscht werden kann mit einem andern Systeme Alpha, welches in Bezug auf das erstere eine geradlinige Bewegung von constanter Geschwin- digkeit besitzt. Von dem so gegebenen Spiekaum kann Ge- brauch gemacht werden zur Vereinfachung der Verhältnisse, indem man den Anfangspunkt des Systemes Alpha zusammen- fallen lässt mit jenem Massenmittelpunkt. Nachdem solches ausgeführt, kann nun etwa noch diejenige durch den Massen- mittelpunkt, d. i. durch den Anfangspunkt von Alpha gehende Ebene ermittelt werden, für welche die Plächengeschwindig- keit der n materiellen Punkte ein Maximum ist; man gelangt alsdann zu dem Laplace' sehen Theorem, dass diese Ebene in Be- zug auf das System Alpha beständig ein und dieselbe Lage behält. In immittelbarem Anschluss an die exponirten Opera- tionen können gleichzeitig auch diejenigen Winkel ^ berech- net werden, unter welchen die drei HaupUrägheitsaxen der n materiellen Punkte gegen die Axen des Systemes Alpha ge- neigt sind. Die früher (Bemerkung 6.) aufgeworfene Frage würde daher principiell dadurch zu entsche]4en sein, dass man untersucht, ob die für die Winkel d' sich ergebenden Ausdrücke bei Einsetzung der berechneten In Constanten Werthe erhalten, welche unabhängig von der Zeit sind. Dass dieselben bei passender Wahl der In Constanten von der Zeit unabhängig werden können , ergiebt sich aus einfachen lieber- - 31 — legungen. Sollen' aber die Bedingungen, denen diese Con- stanten, um einer solchen Anforderung zu entsprechen, Genüge leisten müssen, vollständig hingestellt werden, so bedarf es einer eingehenden Untersuchung, die nicht gerade leicht sein dürfte. 9. (Seite 23). Helmholtz sagt (in seiner Schrift: üeber die Erhaltung der Kraft. Berlin. 1847. Seite 7): „Das Ge- schäft der theoretischen Naturwissenschaft wird vollendet sein, wenn einmal die Zurückführung der Erscheinungen auf an- fache Kräfte vollendet ist, und zugleich nachgewiesen werden kann, dass die gegebene die einzig mögliche Zurückführung sei, welche die Erscheinungen zulassen. Dann wäre dieselbe als die nothwendige Begriffsform der Naturauffqßsung erwie- sen; es würde derselben alsdann also auch objective Wahr- heit zuzuschreiben sein.'' Allerdings muss ich bemerken, dass ich mich mit diesen Worten des berühmten Physikers und Physiologen nicht völlig in Einklang zu setzen vermag, um so weniger, als daselbst unter einfachen Kräften Kräfte von sehr specieller Art ver- standen werden, nämlich Kräfte, die nur zwischen je swei materiellen Punkten stattfinden, und ihrer Richtung und Stärke nach nur von der Entfernung abhängen sollen. Vollständig in üebereinstimmung mit den genannten Worten befinde ich mich erst dann, wenn ich darin statt „einfache Kräfle'' sub- stituire: „deutlich angebbare Prineipien/' 10. (Seite 23). Wie ausserordentlich gross der Spielraum ist für die willkührlich zu wählenden Principien, ergiebt sich, wenn man die a priori unnöthigen Beschränkungen aufsucht, die man sich bisher in dieser Beziehung auferlegt hat. Unnöthig ist es, bei den Principien sich auf Raumgebiete von nur drei Dimensionen zu beschränken. (Vergl. Riemann: Die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Göt- tingen. 1867. Seite 16, 17, 18.) In gleicher Weise erscheint es auch als unnöthig, bei den Principien sich auf die mathe- matisch-reellen Grössen zu beschränken, und die mathe- matisch-imaginären Grössen ganz bei Seite zu lassen. . • •• •• . . ,0. ••• • • i — 32 — ünnöthig ist es ferner, was den Begrifl der Abhängigkeit anbelangt; sich auf einen oder zwei Zeitpunkte zu beschrän- ken. Man könnte denselben febenso gut auch eintreten lassen mit Bezug auf drei Zeitpunkte, oder auch mit Bezug auf ein Conbinuum von Zeitpunkten. Genauer betrachtet, tritt uns übrigens eine solche Ausdehnung des genannten Begriffes bereits entgegen in W. Web er 's elektrodynamischem Grund- gesetz, demzufolge die zwischen zwei elektrischen Punkten stattfindende Kraft durch Geschwindigkeit und Beschleunigung bedingt ist. Unnothig ist es endlich, was den Begriff der ÄhhängigJceit betrifft , sich auf nur zwei materielle Punkte zu beschränken. Ich erinnere in dieser Beziehung an die temären, quater- nären, überhaupt multiplen Kräfte, welche Fechneran Stelle der binären Kräfte, oder vielmehr T^hen denselben in Vorschlag gebracht hat. (F e c h n e r : Die physikalische und philosophische Atomenlehre. Zweite Aufl. Leipzig. 1864. Seite 196 bis 221.) Diese Beispiele schon zeigen, dass das Gebiet abstracter Untersuchungen, welches sich hier dem Mathematiker darbie- bietet, ein unendliches ist. Und so schwierig es auch sein mag, in einem solchen Labyrinth sich nicht zu verlieren, eo werden doch Untersuchungen dieser Art, in planmässiger Weise und mit rigoroser Strenge angestellt, von grossem Vor- theil und vielleicht sogar nothwendig sein können, falls der Fortschritt der Naturwissenschaft nicht durch Beschränktheit der Begriffe gehindert, durch überlieferte Vorurtheile gehemmt werden soll. (Vergl. Rjemann: Die Hypothesen der Geo- metrie. Göttingen. 1867. Seite 18.) Hat doch Laplace ipit vollem Recht bemerkt, dass Kepler niemals seine berühmten Gesetze entdeckt haben würde, wenn er nicht den Weg schon gehahnt gefunden hätte durch die abstracten Untersuchungen der alten Griechischen Mathematiker! c« •> . b • .0 w ^ J Neuerer Verlag von B. G. TEÜBNER in LEIPZIG zur Litteratur der Mathematik und Physik, der Mechanik und des Eisenbalm- nnd Maschinenwesens. In beziehen durch alle Eachhandliuigen. Annaleil, mathematische. Herausgegeben von A. Clebsch, Professor in Gottingen und C. Neumann, Professor in Leipzig. L Band, 4 Hefte. IL Band. 1. Heft. 1869. Lex.-8. geh. 5 Thlr. 10 Ngr. Diese neac mathemalische Ze'itschrifk erscheint in zwang-Iosen Heften. Circa 40 Dog-en bilden einen Band, der mit 6 Thlr. 10 Ngr. berechnet wird. Bardey, E., algebraische Gleichungen nebst den Kesultaten und denMethoden zu ihrer Auflösung, gr. 8. 1868. geh. 1 Thlr. lONgr. Beer, August, Einleitung in die mathematische Theorie der Elasticität und Gapillarität. Herausgegeben von A. Giesen. gr. 8. 1869. geh. 1 Thlr. 10 Ngr. Diese Schrift des verewigten Verfassers hat sich die Aufgabe srestelU, den Leser auf dem kürzesten Wege in die allgemeine Theorie «1er Elasticiläl und Capillarität einzuführen und über die Uauplrcsullatc, zu denen bisher die mathematische Physik in diesen Disciplinen gelangle, zu orientieren. BrOCkmaBn, F. J., Lehrer der Mathematik und Physik am königl. Gymnasium zu Cleve, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigono- metrie. Für Gymnasien und Realschulen bearbeitet. [Mit 46 Holz- schnitten im Text.] gr. 8. 1869. geh. 16 Ngr. Gantor, M., Euclidund sein Jahrhundert. Mathematisch - histo- rische Skizze, gr. 8. 1867. geh. 18 Ngr. Clebscll, Dr. A., Prof. an der Universität Giessen, Theorie derElasti- cität fester Körper, gr. 8. 1862. geh. 3 Thlr. Clebscll, A., u. P.Gordan, Professoren an der Universität Giessen, Theorie der AbePschen Functionen* gr. 8. 1866. geh.' 2 Thlr. 16 Ngr. Dracll, Dr. C. A. von, Privatdocent an der Uni viersität Marburg, Ein- leitung in die Theorie der cubischen Kegelschnitte. (Raumcurven dritter Ordnung.) Mit 2 lith. Tafeln, gr. 8. 1867. geh. . 28 Ngr. Duliailiel, Mitglied der Akademie der Wissenschaften in Paris, Lehrbuch der analytischen Mechanik. Deutsch herausgegeben von Dr. Oskar Schlömilch, Professor der höheren Mathematik und analytischen Mechanik an der polytechnischen Schale in Dresden. Zweite gänzlich umgearbeitete Auflage. Neue wohlfeile Ausgabe. Zwei Bände. Mit in den Text eingedruckten Holzschnitten, gr. 8. 1861. geh. Beide Bände zusammen 2 Thlr. Dur^^e, Dr. H., ordentlicher Professor am Polytechnikum zu Prag, Theorie der elliptischen Functionen. Versuch einer elementaren Dar- stellung. Zweite Auflage. Mit 32 in den Text gedruckten Holz- schnitten, gr. 8. 1868. geh. 3 Thlr I L y /: Dor^e, Dr. H-i ordentlicher Professor am Polylechnikom zo Prag, Ele- mente der Theorie der Functionen einer coraplexen veränderlichen Grösse. Mit besonderer BerüekHichtigimg der Schöpfungen Kiemann's. gr. 8. 1864. geh. 1 Thlr. 18 Ngr. mehr lHhnendii""\^rrihrFDf^^ 'dur^bsua Dichl UbelBii&ilr dnrch di«I°n^afre"LlL°lrE^h(Dnr'w^sl;' Ol tiasen eich übet oriniia douh a«lir grosie [ttclinnngeD eraparen; ferner, was Bovohl füi das DinlelTu'nHa (>°a i^B. der cUilit'if 'hen'^ Funclio'i>° n ^diinh"die ^1 ^ü'tl'sieh so^t' «.herifh^^Z wird dadarch lelcbUr, den Faden einer r^ntbenen Reclinnng, welche mio nachiladttl, lu behalten, und et lUDD Tiel lialloKa Reehnen bei setbalilindie-en ArSeitep vermieden werden, leli empfehle will, inm Vonlodinm," ""™ ' ^.' "c'h!^n'der'zoiUehTi'™f. Ml"hem»lik° ISÄs"*. hSl|™ Fiedler, Dr. WÜlielm, Professor am Polytechnikum zu Prag, die Ele- mente der neueren Geometrie und der Algebra der binären Formen. Ein Beitrag zur Einffibtung in die Algebra der linearen Transformationen, gr. 8. 1862. geh. 1 Thlr. 14 Ngr. Fort, 0., and 0. Rnhjfimilnh , Professoren an der KÖnigl. polytechniachen Schule iii Dresden, Lehrbuch der analytischen Geometrie. Zwei Theile. Mit in den Text gedruckten Holzschnitten. Zweite Auflage, gr. 8. 1863. geh. 2 Thlr. 22^ Ngr. Einzeln; I. Theil. Analytische Geometrie der Ebene, Yon O.Port, i Thlr. 7'/, Np-. u. > Analftisclie QeoDLetrie deaBaames vonO. Scklü milch. tThlr. 15 Ngr. Folirillällll , Dr. Arwed, Assistent für Mathematik und Vermessangslehre an der Konigl. polytechniBcben Schale xu Dresden, Aufgaben ans der analytischen Mechanik. Mit einem Vorworte von Prof. Dr, 0. Scblomilch. In zwei Theilen. Erster Theil; Aufgaben aus der analytischen Geostatik. Mit in den Text eingedruckten Holzschnitten, gr. 8. 1867. 20 Ngr. iaer, Dr. C. F., Docent am Schweizerischen Polytechnikum, Einleitung in die synthetische Geometrie. Ein Leitfaden beim Unter- richt an höheren Realschulen und Gymnasien. Mit vielen Holz- schnitten im Text. gr. 8. 1869. geh. 1 Thlr. ,rtlg;, Dr. Ernst, Profeeeor der mecbaniechen Technologie an der k. poly- lechnischen Schale in Dresden, die Dampfkessel-Explosionen. Beiträge zur Benrtheilung der Maassregeln für ihre Verhütung.. Mit lithographierten Tafeln, gr. 8. 1867. geh. 20 Ngr. nrici, Julius, Professor an der höheren üürgerschule in Heidelberg, Elementai-Mechanik des Punktes und des starren Systomos. Mit 159 in den Text gedruckten Holzschnitten. gr. 8. 1869. geh. 24 Ngr. iSSe, Dr. Otto, ord. Professor an der Universität za Heidelberg, Vor- lesungen über analytische Geometrie des Baumes, insbesondere über Oberflächen zweiter Ordnung. Zweite Auflage, gr. 8. 1869. geh. . 3 Thlr. 10 Ngr. " Vorlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene, gr. 8. geh. . 1 Thlr. 10 Ngr. H6SS6, Dr, Otto, ord. Professor an der UniTersität zu Heidelberg, vier Vorlesungen aus der analytischen Geometrie. Separat- abdruck aus der Zeitschrift für Mathematik und Physik, gr. 8. 1866. geh. 16 Ngr. £älll, Dr. E.y Lehrer der Physik an der Kriegsschale in Dresden, mathe- matische Aufgaben aus der Physik nebst Auflösungen. Zum Gebrauche höherer Schulanstalten und zum Selbstunterricht bearbeitet. Mit vielen in den Text gedruckten Holzschnitten. 2 Theile. gr. 8. 1857. geh. 1 Thlr. 14 Ngr. Einzeln : I. Theil. Anfgaben. n. 24 Ngr. II. Theil. AuflÖSimgeil. n. 20 Ngr. ^0^, griebrtd^, eiemcnte \)onaJiafd^incn gunäd^fl aK ein Scitfabcn für Ocnjerbfc^ütcr. I. u. IL 5lbt^. in einem Sbe. 3Rit 31 titl^. Safein u. 1 57 in b. Sert gebt, ^oljfd^n. 3n?eite SÄugg. 4. 1858. gel^. 1 2^lr. 24 SRgr. £oeiligsberg6r , Dr. Leo, ord. Prof, an der Universität Greifswald, die Transformation, die Multiplication und die Modular- gleichungen der elliptischen Functionen, gr. 8. 1868. geh. 1 Thlr. 10 Ngr. ^ö|nfe^ $♦, (Sitjilincjcnieur unb BejlaClter fianbmcffcr, §anbl&ud^ jum^lb- fleden t)on 6urt)en auf ©ifenbal^n? unb aÖBegeltnien. gür aüe \>ox^ !ommenben Sßinfel unb SRabien aufg ©orgfattiajie bered^net unb l^erau^^ gegeben. Sed^ftebuvd^g.^lufL Sölit einer ijigutentafel. 8.1869.geb.l85lgr. LillddlÖf, Dr. L., Professeur de Math^matiqaes k Helsingfors, le^ons de calcul des Variation s. Redig^es en collaboration avec M. L'abb^ Moigno. Paris 1861. gr. 8. geh. 1 Thlr. 20 Ngr. Lommel, Dr. Eugen, Professor der Mathematik an der Königl. Akademie für Land" und Forstwirthe zu Hohenheim, Studien über die BesseTschen Functionen, gr. 8. 1868. geh. 1 Thlr. Mstttlli6S6n , Dr. Ludwig, Subrector und Lehrer der Mathematik am Gymnasium zu Husum, die algebraischen Methoden der Auf- lösung der litteralen quadratischen , cubischen und biquadratischen Gleichungen. Nach ihren Principien und ihrem inneren Zusammen- hange dargestellt. Erste Serie, enthaltend: Substitutions-Methoden, gr. 8. 1866. geh. 15 Ngr. Mayer, Dr. Adolph, Beiträge zur Theorie der Maxima und Minima der einfachen Integrale, gr. 8. geh. 20 Ngr. HittheilimgeiL d e r K. Sachs. Polytechnischen Schule zu Dres- den. Heft I. A. u. d. T. : Versuche über den Kraftbedarf der Maschinen in der Streichgamspinnerei und Tuchfabrikation, ausgeführt von Dr. Ernst Hartig, Lehrer der mechan. Technologie an der Kgl. Polytechn. Schule. Unter Mitwirkung der Polytechniker Arndt, Jüngling, Klien und Ktinzel. [VIII u. 72 S. mit 11 litho- graphierten Tafeln in 4. u. qu. Folio.] hoch 4. geh: 1 Thlr. 10 Ngr. — ^— — ■ ^—— • Heft II. A. u. d. T.: Versuche über den Kraftbedarf der in der Flachs- und Werg-Spinnerei angewendeten Maschinen, ausgeführt von Dr. Ernst Hartig, Professor der mechan. Technologie an der kon. polytechn. Schule zu Dresden, unter Mitwirkung der Polytechniker F. H. Becker, E. E. Freyberg, W. C. Merkel, Heinrich Judenfeind - Hülsse, Hcrrraann Judenfeind -Hülsse, E. H. Nacke und P. Püschol. Mit 1 Holzschnitt und 13 lithographierten Tafeln. [117 S.] Lex. -8. 1869. geh. 2 Thlr. Müller, Dr. J. H. T., Oberschulrath etc., Beiträge zur Termino- logie der Griechischen Mathematiker, gr. 8. 1860. geh. n. 8 Ngr. „Es sind nur 2^A Druckbogren , welche der Verfasser unter dem Titel von ßeilräg-en veröffent- licht, aber wer den Inhalt prüft « wird über die Fülle erstaunen, welche in dem kleinen Räume zu- sammeng^edrängrt ist u. s. w.'* [Zeitschrift für Mathematik 1860, 6. Heft.] Neumaim, Carl, ord. Professor in Leipzig, Vorlesungen über Rie- mann's Theorie der AheVschen Integrale. Mit zahlreichen in den Text gedruckten Holzschnitten und einer lithographierten Tafel, gr. 8. geh. 3 Thlr. 20 Ngr. Eine Darstellung: der Theorie der Abel'schen Integrale, durch welche dieselbe auch denen verständlich wird, deren mathematische Kenntnisse noch g:«ring' sind. Der Student, welcher sein erstes oder seine beiden ersten Semester einigpermassen g-ut ang-ewendet hat^ soll durch dieses Buch in den Stand g-esetzt werden, in das Innere jener schwierigen und bis jetzt fast vollständig' unzu- g'äng-lichen Theorie sofort und mit vollem Verständnis einzudring^en. — • das Dirichlet'sche Princip in seiner Anwendung auf die Riemann^schen Flächen, gr. 8. 1865. geh. 18 Ngr. die Haupt- und Brenn-Puncte eines Linsen- System es. Elementare Darstellung der durch Gauss begründeten Theorie, gr. 8. 1866. geh. 15 Ngr — Theorie der BesseTschen Functionen. Ein Ana- logon zur Theorie der Kugelfunctionen. gr. 8. 1867. geh. 20 Ngr. Flacker, Julius, neue Geometrie des Raumes, gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement. Mit einem Vorwort von A. Clebsch. gr. 4. 1868. 1869. geh. 5 Thlr. Reiss, M., Beiträge zur Theorie der Determinanten, gr. 4, 1867. geh. 1 Thlr. RbUSGIi, E., Professor an der Universität Tübingen, Theorie der Cylin der linsen. Mit zwei lithographierten Tafeln, gr. 8. 1868. geh. 16 Ngr. Roch, Dr. G., de theoremate quodam circa functiones Abelianas. 4. geh. 6 Ngr. RuetC, Dr. C. G. Th., Professor und Geh. Medicinalratb , das Stereo- scop. Eine populäre Darstellung. Mit 27 stereoscopischen Bildern in einer Beilage. Zweite durchaus neu bearbeitete Auflage, gr. 8. 1867. geh. 2 Thlr. SalmOii, George, analytische Geometrie der Kegelschnitte mit besonderer Berücksichtigung der neueren Methoden. Unter Mitwirkung des Verfassers deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler. Zweite umgearbeitete und verbesserte Auflage, gr. 8. 1866. geh. 4 Thlr. ,,E8 kann das Werk in der vorlieg-enden Form der aufmerksamen Beachtung* aller Studie- renden der Mathematik empfohlen werden, welche auf mög-lichst einfachem Weg^e Zugang- zu den Kesullalen der neueren Porschung-en auf dem Gebiete der analytischen Geometrie erlangen wollen; dem Lehrer der Wissenschaft empfiehlt es sich , abg-esehcn von der vorzQgrlichen Methodik des Ver- fassers, welche in der deutschen Bearbeitung durchaus nicht beeinträchtigt ist, namentlich noch durch die grosse Menge von mehr als vierhundert grossentheils vollst&ndig durchgeführten Auf- gal>en.'< [0. Fort, in der Zeitschrift für Mathematik 1861, 3. Heft.] — Vorlesungen zur Einführung in die Algebra der linearen Transformationen. Deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler, gr. 8. 1863. geh. 1 Thlr. 24 Ngr. Diese deutsche Ausgabe von Rev. George Salmon's „Lessons Introductory to the mo- dern higher Algebra*' ist in einigen Punkten verändert, in andern erweitert und nach dem Stande der Entdeckungen vervollständigt worden. Der Theorie der symmetrischen Determinanten ist eine Vorlesung gewidmet, überhaupt die Determinanlentheorie vielfach erweitert, namentlich auch die Zahl dcrBeispiele vermehrt worden. Diese Erweiterung steht in Verbindung mit der voHändigeren Behandlung der Theorie der Jacobi'schen und derjenigen der Hesse'schen Determinante, welche als Beispiele für eine Form der Behandlung gegeben sind, die in analytischer Beziehung unleugbare Vorzüge vor derjenigen hat, durch die der Grundcharacter des Originals bestimmt ist. In der Uebersicht der Resultate der Theorie für die biquadratischen ternären Formen ist auf die schonen Untersuchungen von Clebsch Bezug genommen und ein kurzer Abriss der Resultate ge^ebeo worden, welche die algebraische Theorie der binären und ternären Formen für die elliptischen Tran- scendcnten ans Licht gebracht hat. — Das Buch schliesst sich in seiner Bedeutung ftir die mathe- matischen Studien dem vorhergehenden Werke desselben Verfassers würdig an. Salmoily George, analytische Geometrie des Eaumes. Deutsch bearbeitet von Dr. Wilhelm Fiedler, ord. Professor der descrip. tiven Geometrie am Polytechnikum zu Prag. 2 Theile. gr. 8. 1863. 1865. geh. 5 Thlr. 14 Ngr. Einzeln: I. Theil; A. u. d. T.: Die Elemente der analytischen Geometrie des Raumes und die Theorie der Flächen zweiten Grades. Ein Lehrbuch für höhere Unterrichtsanstalten, gr. 8. geh. 1 TMr. 24 Ngr. II. Theil: A. u. d. T»: Analytische Geometrie der Curven im Räume und der algebraischen Flächen, gr, 8. geh. n. 3 Thlr. 20 Ngr. ,,Die ausg-ezeichnete Begabung- des Verfasser» für die Darstellung* analytisch -g-eomctrischer üntersuchnng-cn, als auch die Tüchtig-keit des Herrn Uebersetzers sind so anerkannt, dass es unnothig* erscheint, irg-end etwas zur Empfehlung* des voriieg-enden Werkes hinzuzufug-en.*' [Literar. Centralblatt , 1864, Nr. 38.] Scheffler, Dr. Hermann, Herzogl. Braunschweig. Baurath, imaginäre Arbeit, eine Wirkung der Centrifugal- und Gyralkraft, mit Anwendungen auf die Theorie des Kreisels, des rollenden Eades, des Polytrops, des rotirenden Geschosses und des Tischrückens. Mit 23 in den Text gedruckten Holzschnitten, gr. 8. 1866. geh. ' ^ 15 Ngr. Schell, Dr. Wilhelm, Professor am Polytechnikum zu Carlsruhe, Theorie der Bewegung und der Kräfte. Ein Lehrbuch der theoretischen Mechanik, mit besonderer Kücksicht auf die Bedürfnisse technischer Hochschulen. Mit vielen in den Text gedruckten Holzschnitten. 1. — 3. Lieferung, gr. Lex. -8. 1868. 1869. geh. Jede Lieferung k 28 Ngr. Erscheint in circa 5 Licferung'en yon je 12 Dnickbogren & 28 Ngr. die licferung" und wird binnen Jahresfrist vollendet sein. — — ^ allgemeine Theorie der Curven do ppelter Krüm- mung in rein geometrischer Darstellung. Mit Holzschnitten, gr. 8. 1859. geh. 24 Ngr. ScMÖmilcll, Dr. Osear, Konigl. Sachs. Hofrath , Professor an der poly- technischen Schule zu Dresden, Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis. Erster Theil: Aufgaben aus der Differentialrechnung. Mit Holzschnitten im Texte, gr. 8. 1868. geh. 1 Thlr. 18 Ngr. Schmidt, Carl Heinrich, Professor an der polytechnischen Schule in Stuttgart, Lehrbuch der Spinnereimechanik. Mit einem Atlas von 13 lithograph. Tafeln, gr. 8. 1857. (Der Atlas quer-Folio). n. 3 Thlr. ^äfmÜttr Dr. g* g., eitjüingenieur, bie ^nprutncnte unb aBev!^ gcugc ber l^ö^crcn unb nieberen 9Kc§!unp, fotoie bcr geomc- trifc]^cn3^td;cnfutt{l, x^xtXf)toxk, ßonflructton, ©ebraud) unb ^rüfuncj. ÜJtit 236 in bcn Ztxt gebrudten ^oljfd^nittcn. SSicrtc fcl^r t)erl>cffcrte unb \)crmel^vte 3luf[agc. gr. 8, 1861. gel^. 1 St^lr. 15 Sfigr. Sel^rBud^ bcr gefammtcn 3)ie§funfi ober S)arfieHung bcr Jl^eorie unb $rartg be§ iJelbmeffeni^, 9iit)eIItreng unb ^öl^cnmeffcng, bcr mtUtärifd^en 5lufnal^mcn ganzer Sauber, foluie ber geometrifd^en äeid^enfunji. ä^m ©elfcftjiubium unb Unterrtd^te BearBeitet, S)ritte t^er- befferte 3lupage. 3Rit 225 ©olafd^nitten. gr. 8, 1861. gel^. 2 J^lr. Die g>eodätischen Werke Schnei tl er' s entsprechen so sehr einem praktischen Bedürfnisse, dass ihre Verbreitung' in fortwährendem Steig-en begriffen ist. Die vorlieg^ende dritte Auflag-e des. „Jahrbuchs der Messkunst", welches mit dem g'leicnzeitig* in vierter Aaflag'e erschienenen Werke: i,die Inatnunente tind Werkzeuge der Mesakunst** ein Ganzes bildet, ist eine wesentlich ver- besserte. Insbesondere ist der g-anze Abschnitt ,,Ni velliren** durch Herrn Regierung'sconducleur Stocken in Breslau vollständig neu bearbeitet und damit das Buch g-erade in einer Partie erweitert worden, deren genaue Kenntnis in unserer Zeit von besonderer Bedeutung für die g^rossartig-en Landes- Meliorationen (Bruch- und Moorbauten, Drain- Anlag^en) ist. Der Preis ist ausserordentlich billig' Sclmeitler, Dr. C. F., und Julius Andräe, Civilingcnieurs, Samm- lung von Werkzeichnungen landwirtlischaftlicher Maschinen und Geräthe nehst ausführlichen Beschreibungen. 7 Hefte. Mit 42 Tafeln in gr. Royal-Fol. Text in 4. 1853—1867. geh. 38 Thlr. Einzeln : I. Heft, die Drainrohren- und Zierelpressen auf 7 Foliotafeln: 1) Randell und Sanders Thonröhrenpresse mit mecnanischer Absehneide -Vorrichtnn g-; 2) Drainröhren - presse von Eg-ells in Berlin; d) Doppeltwirkende Drainrohrenpresse von J. Whitehead in Preston; 4) Drainröhrcnnresse von J.Williams in Bedfoi-d; 5) Doppelwirkende Drain- röhrcnpresse von üorie Fr eres in Paris; G) Drainröhrenpresse von Mandscheid in Malapanc; 7) einfache eng-lische Röhrenpresse. 1853. n. 6 Thlr. II. ileFl, mit 6 Tafeln: 1) Verbesserte Flachs - Brechmaschine von Knthe; 2) Flachsschwing>e- Maschine von J. Bücklers; 3) Patenlirter Apparat und Verfahren der Flachs - DampfrSste von Watt in Irland; 4) £. Kaemmerer*8 Onivecsal - Säe - Maschine. 1853. n. 6 Thlr. III. lieft, mit 6 Tafeln: 1) Transportabler Cylindergöpel von Barret, Exall a. Andrews in Reading-; 2) transportables deutsches Rosswerk; 3} Uäckselschneide - Maschine nach Gillet; Schrotmühle mit Stahlwalzen. 1854. n. 6 Thlr. IV. lieft oder II. Serie 1. Heft, mit 6 Tafeln: 1) Englische Dreschmaschine; 2) Salmon's Uäckselschneide -Maschine; 3) ßedford - Eggen. i«o5. n. 6 Thlr. V. Heft, oder II. Serie 2. Heft, mit 6 Tafeln: Thonschlemmerei za Joachimsthal; Göpel von Pinet; Romaine's Damprgrabe- Maschine. 1856. n. 6 Thlr. VI. n. VII. (Doppel)HeA, oder 11. Serie 3. u. 4. Heft, a. n. d. T. : Die neueren Oampfcoltar- Gerälhe und DampfpflQge Englands. Von Dr. C. F. Schneitier. Mit 11 Tafeln. 1S57. n. 8 Thlr. Heft 1 — 3 hcransg-egeben von C. F. Schneitier, Heft 4 — 7 oder II. Serie 1 — 4. HeA von C. F. Schneitier und J. Andr^e. Bi^ntitla, Dr. a, Sy unb Julius Slnbtee, eiöir^Sugenicurg, bie neue- ren uttb h)id^ti9eren laubtoirtJ^fd^aftlid^en ÜJiafd^inen unb ©erät^e, il^re Z^toxxt, ©onfiTuction, aBirtungi^tücife unb Stntoenbung. Gin §anbbud^ ber lanbtDirtl^fd^aftlic^ett ÜJlafd^incn^ unb ©evätl^efunbc jum ©elbftflubium unb Unterrid^t. 3Jlit 350 in itn Ztxi gebrudftcn §oljfd)nitten. gr* 8. 1862. gel^. 3 Z^x. „Das neueste und vollständigste Buch über landwirthschaftliche Maschinen und Geräthe, welches durch seine voztiglich klaren und anschaulichen Abbildungen wie durch seinen g'odieeenen beschreibenden Text die vollste Anerkennung bei allen gefunden hat, die als lAndwirlhe oder Tech- niker mit den landwirthschaflUchcn Maschinen und Gerälhen sich näher bekannt zu machen Ver- anlassung haben. Wir können nur wiederholen, dass wir es hier mit einem gediegenen, der wärmsten Empfehlung- werthen Werke Zu thun haben. Alle I^ndwirthe, welche den Forlschritt in ihrem ehrenwcrtnen Bernfe mit Freuden begrüssen, können „diese" Maschinen- and Geräthe- Kunde gar nicht entbehren, und legen wir besonders auch allen Mitgliedern unseres Voreins die Anschaffung desselben ans Herz/' (Landwirthschaftliche Mittheilung'en (Neuhaldensleben) 1859, Nr. 4.] ^ifXiUtlf 3f* ©♦/ fagliii^e Slnleitunö jum arünblid^en Untere: rid}t in ber 2llgeljra. SRad) ffieifpielen au^ ben in Sßeier §irfd^'g ©ammlung entl^altenen ®letd}ungen unb Slufgaben. gr. 8. 1850. gel^, 1 X^x. 9 SRgr. Neben einer sehr klaren Darstellung der algebraischen Lehrsätze enthält das Buch ausfiihr- liche Auflösungen aller in Meier Hirseh's Sammlung enthaltenen algebraischen Anfg-abcn, welche dasselbe vorzugsweise zum Selbstunterricht in der Algrebra geeig^nct machen. Serret, J. A., Handbuch der höheren Algebra. Deutsch bearbeitet von G. Wertheim. Zwei Bände, gr. 8. 1868. geh. 5 Thlr. 10 Ngi\ Stamm, Ernst, theoretische und praktische Studien über den Self- actor oder die selbstthätige Mule - Feinspinnmaschine. Aus dem Französischen übersetzt von Ernst Hartig. Mit einem Vorwort von Dr. J. A. Htilsse,.I>irectoT der polytechnischen Schule in Dresden. Mit 10 Kupfertafeln (in qu.-Fol. u. Imp.-Fol.) I. Heft: Text. IL Heft: Kupfertafeln, gr. 4. 1862. geh. 4 Tlilv.